LA INTEGRAL INDEFINIDA
La
diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la
diferencial de la variable independiente.
dy= f´(x) dx
En el Cálculo diferencial se
observó el comportamiento de la variación de una función al introducir el
operador diferencial, con lo que se obtuvo la pendiente de la tangente a una
curva. Ahora podríamos retroceder hasta encontrar la función que dio origen a
la tangente de la curva. Esta operación en retroceso se llama: “OPERACIÓN
INVERSA DE LA DIFERENCIACIÓN”. O sea consiste hallar la función a que
corresponde cierta derivada o diferencial. El procedimiento mediante el cual
hallamos la función a que corresponde cierta derivada se llama: INTEGRACIÓN.
Por ejemplo me pongo
los zapatos, puedo quitármelos otra vez.
La segunda operación anula a la primera y los zapatos regresan a la posición
original.
Así como la suma es
operación inversa a la resta, la multiplicación a la división, elevación de
potencias y extracción de raíces, tomar logaritmos y encontrar anti
logarítmicos.
Ejemplo:
Función Directa Función Inversa
Y= Sen X X = arc sen Y
Y= In X X=
ey
La integral definida tiene
una interpretación geométrica con el área de una región plana. La integración
se representa con el símbolo
( tiene forma de una S “alargada”). Por
ello se le atribuye un significado de suma y se relaciona con el concepto de
integración.
INTEGRACIÓN COMO SUMA
Se supone un número
ilimitado de rectángulos de dimensiones infinitamente pequeñas, los cuáles al
sumarse mediante el proceso e integración nos proporciona el área exacta bajo
una curva desde:
En esta gráfica se han
considerado franjas diferenciales cuyas áreas respectivas estarán definidas por
la fórmula A = b*h. El concepto de la integral es el cálculo de área bajo la curva.
Busquemos la función que al
ser derivada nos dé como resultado 2x y encontramos que esa función puede ser:
F(x) = x2
|
F´(x) = 2x
|
F(x) = x2 - 3
F(x) = x2 +
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Estas son algunas soluciones
pero existen muchísimas más; sí sumamos o restamos cualquier constante, por los
tanto:
F(x) = x2 + C
donde “C “ es cualquier constante
positiva o negativa y se le da el nombre de “CONSTANTE DE INTEGRACIÓN”.
NOTACIÓN DE LA ANTIDERIVADA O INTEGRAL
Se
representa por ∫ f(x) dx= F(x) + C
Se
lee: integral de f de x diferencial de x.
∫ es el signo de
integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial
de x, e indica cuál es la variable de la función que se
integra.
C es la constante
de integración y
puede tomar cualquier valor numérico real.
TEOREMA A.1. (Regla de Potencias)
Si n es un número racional
cualquiera, excepto -1, entonces:
TEORMEA A.2.
TEOREMA B.
Sean f y g dos funciones que tienen antiderivada
(integrales indefinidas) y sea K una constante, entonces:
TEOREMA C (REGLA DE POTENCIAS GENERALIZADA).
Sea “g” una función
diferenciable y “n” un número racional distinto de -1. Entonces:
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